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I-                  Rappel mathématique sur les dérivées partielles

 

I-1-1- Les dérivées partielles

 

Nous commençons par montrer comment définir et calculer une dérivée partielle à partir la notion de dérivée d’une fonction d’une seule variable. Cela permettra de définir la notion de dérivée partielle, d’en expliquer les notations et surtout d’expliquer comment calculer rapidement une dérivée partielle 1. Commençons par un exemple Soit f

 

f (x,y)= sin(xy²)

 

 

Pour calculer la dérivée partielle de f suivant la première variable x, on fixe y, puis on calcule sa dérivée que l’on note

 

 

 

De même, pour calculer la dérivée partielle de f suivant  la deuxième variable y, on fixe x puis  on calcule sa dérivée :

 

 

 

Exemple :

 

Soit : f(x,y,z) = x²yz²

 

 

I-1-2-Dérivées partielles d’ordre 2 ou plus

 

Comme pour les fonctions d’une seule variable, il est possible de définir des dérivées partielles d’ordre supérieur. Par exemple, on peut définir :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I.2 Variables et Fonctions d’état

 

 Variables d’état

 

Les variables d'état sont par exemple la température T, la pression p, le volume V ou le nombre de moles n

 

Fonctions d’état

 

Le système peut réaliser des transformations entre l’état thermodynamique d’équilibre initial (1) et l’état final (2) de plusieurs façons différentes, c’est-à-dire en empruntant des chemins différents.

En général, la variation ΔX d’une grandeur X dépend du chemin suivi pour aller de l’état initial (1) à l’état final (2), mais en thermodynamique, il existe des fonctions f liées aux variables d’état dont les variations Δf au cours d’une transformation sont indépendantes du chemin suivi. Ces grandeurs ou fonctions sont dites fonctions d’état. Elles sont caractérisées par :

 Leur indépendance du chemin suivi par la transformation.

 est une différentielle totale exacte

I.3 Grandeurs et systèmes thermodynamiques

 

La thermodynamique repose tout d’abord sur la conservation de la matière et de l’énergie. Grâce à ces principes universels, la thermodynamique peut établir des bilans de matière et d’énergie en utilisant la notion d’échange entre un système et son environnement.

I-3 -1-Notion de système et d’environnement

En thermodynamique l’objet étudie est appelé système par opposition à son environnement encore appelé extérieure (au système) avec lequel le système peut échanger de la matière ou de l’énergie pendant sa transformation.

I-1-1-1- Système ouvert : possibilité d’échange de matière et de l’énergie entre le système et le milieu extérieur.

I-1-1-2- Système fermé : Tout échange de matière est impossible entre le système et le milieu extérieur.

I-1-1--3- Système isolé : pas d’échange ni de matière, ni d’énergie entre le système et le milieu extérieur.

I-1-2- Etat macroscopique et états microscopique

D’une manière générale, on peut définir l’état d’un système à deux niveaux :

-          Etat macroscopique, défini par la valeur des variables d’état macroscopique ; pression, volume, température, concentration….

-          Etat microscopique, défini par la position, la vitesse, et l’énergie, a un instant donné, de toutes les particules constituant le système.

I-1-3-Etat d’équilibre :

On dit qu’un système est en équilibre lorsque toutes ses variables d’état demeurent constantes au cours du temps.

Il faut considérer différents types d’équilibre du système

-un système est en équilibre thermique lorsque sa température ne varie plus au cours du temps.

- un système est en équilibre pneumatique(ou mécanique) lorsque sa pression ne varie plus au cours du temps.

I-1-4-Equation d’état :

L’état d’un système est défini par un nombre limité de grandeurs d’état indépendantes.

Les variables d’état pour l’étude d’un système sont : P, V et T.

Il existe une relation entre P, V et T tel que f(P, V ,T) = 0 appelée équation d’état.

I-1-5- Fonction d’état :

Les variations d’une fonction d’état au cours d’une transformation ne dépend que :

-          De l’état initial et l’état final.

-          Et non pas du chemin suivi.

I-1-6-Transformation

 

I-1-6-1-Définition

 

Une transformation est une opération qui modifie l’état d’un système, le faisant évoluer d’un état d’équilibre initial à un état d’équilibre final.

Exemple : Pour un fluide homogène, une transformation modifiera au moins une des trois variables : P, V ou T.

Si les états intermédiaires successifs sont aussi des états d’équilibre, la transformation est quasi statique. Si en plus on peut inverser la transformation à chaque instant, la transformation est réversible sinon la transformation est irréversible (lorsque les états intermédiaires ne sont pas des états d’équilibre).

I-1-6-2- Types de transformation

I-1-6-2-1-Transformation isotherme :

La température du système reste constante.

I-1-6-2-2-Transformation adiabatique :

Le système n’échange pas de chaleur avec le milieu extérieur.

I-1-6-2-3-Transformation isochore :

Le volume du système reste constant durant l’évolution.

I-1-6-2-4-Transformation isobare :

La pression du système ne change pas au cours de la transformation

I-1-7-Transformation réversible- transformation irréversible :

Les transformations sont souvent possibles dans un sens et dans le sens opposé.

Le terme réversible s’applique à une transformation qui se fait dans les deux sens et en outre qui est réalisé dans des conditions particulière.