Chapitre 3.   Les fautes et les erreurs
Une mesure est entachée d’une certaine erreur, d’une incertitude. Elle provient de divers facteurs : la méthode utilisée, l’instrument employé, l’expérience de l’opérateur, la grandeur mesurée… Différentes notions sont utilisées pour qualifier la qualité de la mesure, et divers moyens existent pour répartir les résidus d’une série de mesure. 
	3.1. Erreurs et fautes 
	• La faute : manquement à une norme, aux règles d’une science, d’une technique (Petit Larousse). On parle de faute généralement à propos de l’opérateur, et peut être due à un manque de soin, le non respect des règles de base, le manque d’expérience… 
	• L’erreur systématique : se répète et se cumule à chaque mesure. Elle est le plus souvent due aux imprécisions de l’instrument (qualité des composants, défauts de réglages…) et aux contraintes de sa mise œuvre. L’influence de ces erreurs peut souvent être évaluée par calcul, et prise en compte dans la détermination finale. 
	• L’erreur accidentelle : de valeur et de signe aléatoires, elle peut avoir diverses origines : défaut de calage de l’appareil à la mise en station, erreur de pointé, de lecture, des paramètres extérieurs non maîtrisables (température, hygrométrie…), erreur de réfraction accidentelle… 
Sur une série de mesures (cheminement altimétrique, polygonal), l’influence des erreurs systématiques doit être minimisée par la méthode employée. Par contre, il reste les erreurs accidentelles qui sont généralement considérées comme les seules participant aux fermetures.  
	
	3.2. Méthodes de compensation 
Tout protocole de mesure génère des erreurs. Il est capital d’identifier, quantifier et réduire les erreurs systématiques, mais les erreurs accidentelles doivent être réparties sur l’ensemble. Plusieurs méthodes sont possibles, mais partent toutes globalement de l’hypothèse de l’équiprobabilité de chaque source d’erreur accidentelle lors de chaque mesure. Par exemple, sur un cheminement altimétrique, la probabilité de faire une erreur de lecture sur mire est identique qu’il s’agisse de la première ou de la nième dénivelée.  
	3.2.1. Compensation proportionnelle 
C’est le mode de compensation le plus simple. Il exploite l’hypothèse d’équiprobabilité au mot : l’erreur globale constatée sur la série de mesures est la résultante des erreurs sur chaque mesure de la série. Par conséquent, la fermeture est répartie sur chaque mesure individuelle. Pour une fermeture f obtenue sur n mesures, la correction à appliquer aux observations est alors donnée par : 
  [Eq. 3.1] 
Elle peut s’avérer tout à fait suffisante pour la répartition de la fermeture d’un nivellement géométrique à portées strictement équidistantes et équivalentes.  
	
	3.2.2. Compensation pondérée 
La compensation pondérée est une amélioration de la compensation proportionnelle. Elle prend en compte, par la pondération des observations, une certaine appréciation de la qualité des mesures. Tout le problème est alors de déterminer le facteur significatif agissant sur cette qualité. De même que précédemment, la correction à appliquer à la jième observation sur n, de facteur de pondération p, est donnée par : 
  [Eq. 3.2] 
Dans le cas d’un tour d’horizon, on pourra prendre la distance au point comme facteur de pondération. En effet, en triangulation, le pointé sur des cibles lointaines est souvent bien plus précis que sur des cibles proches. 
	
	3.2.3. Compensation par les moindres carrés 
Les méthodes précédentes s’appliquent dans les cas simples, où les mesures redondantes ne sont que peu ou pas présentes. Dès lors que l’on s’intéresse à un réseau de mesures, engendrant des déterminations multiples d’une même grandeur, il est impératif de pouvoir tirer parti de l’ensemble des observations sans créer de discordances entre elles. 
Le principe des moindres carrés a pour objectif de minimiser les carrés des écarts entre les observations et la valeur vraie de la grandeur observée. Elle se base exclusivement sur la redondance de mesures. Un calcul abouti par moindres carrés donne accès à la valeur la plus probable de la grandeur mesurée, avec un indicateur de qualité primordial : l’erreur moyenne quadratique (souvent notée emq ; en anglais, rmse, root mean square error).  
La complexité de la méthode ne nous permet pas de la présenter dans le détail. Nous nous limiterons par conséquent à une expression simplifiée, matricielle. La première étape est de définir des valeurs approchées des inconnues, pour pouvoir écrire la matrice V des écarts avec chaque mesure. Ensuite, l’équation suivante donne les appoints à apporter aux valeurs approchées pour obtenir les valeurs les plus probables, compte tenu des observations réalisées. 
  [Eq. 3.3] 
Ainsi, l’erreur moyenne quadratique du calcul (mq0), également dite réduite à l’unité de poids, est donné par la relation :    
  [Eq. 3.4] 
avec p le poids de l’observation, v l’écart entre valeurs approchée et observée, n le nombre total d’observations, q le nombre d’observations strictement nécessaires au calcul de l’inconnue.