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\begin{document}

\title[\textbf{Habilitation Universitaire}]{\textbf{Habilitation
Universitaire en Mathématiques }}
\author[J. Abdelli]{\textbf{Jihane Abdelli}}
\date{Biskra, 1 Décembre 2021.}
\maketitle

\part{Dossier Administratif et Pédagogique}

\section{Dossier Administratif et Pédagogique}

\subsection{Caractéristiques personelles et Fonctions}

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\begin{frame}%
%EndExpansion

\begin{center}
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{{\large Caractéristiques personelles}}
\end{center}

\noindent \textbf{Nom et Prénom} \textbf{:} 

\noindent \textbf{Date et lieu de naissance :} 

\noindent \textbf{Situation familiale :} 

\noindent \textbf{Institution de rattachement : }Université Mohamed Khider
Biskra (UMKB), Département des Mathématiques (DM).\medskip

\begin{center}
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{{\large Fonctions}}
\end{center}

\noindent \textbf{1.} \textbf{Maître Assistant,} DM, \textit{.}

\noindent \textbf{2.} \textbf{Maître Assistant (B),} DM,

\noindent \textbf{3.} \textbf{Maître Assistant (A),} DM, \textit{.}

\noindent \textbf{4. Maître de Conférences (B),} DM, UMKB, depuis \textit{%
30-05-2018.}

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\subsection{Diplômes et Distinctions}

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\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent \textbf{1. }\textcolor[rgb]{0.00,0.40,0.00}{\textbf{%
\textit{Baccalauréat en Sciences Exactes}}}, Lycée,

\noindent \textbf{2.} \textcolor[rgb]{0.00,0.40,0.00}{\textbf{%
\textit{Diplôme des Etudes Supérieurs en Mathématiques}}}, DM., \medskip 

\noindent \textbf{3.} \textcolor[rgb]{0.00,0.40,0.00}{\textbf{%
\textit{Diplôme des Etudes Approfondi en Mathématiques}}}, \medskip 

\noindent \textbf{4.} \textcolor[rgb]{0.00,0.40,0.00}{\textbf{%
\textit{Magistère, Système dynamiques et contrôle}}}, D d'ace.\medskip 

\noindent \textbf{5. }\textcolor[rgb]{0.00,0.40,0.00}{\textbf{%
\textit{Doctorat, Statistiques}}},  ex

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\subsection{Enseignements}

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\begin{frame}%
%EndExpansion

\begin{center}
\textbf{2006-2009}\medskip
\end{center}

\noindent 1) Cours et TD de Mathématiques 1 et 2, pour les premièrs années
Informatiques de Gestion.

\noindent 2) Cours et TD de Mathémtiques 3, pour les deuxièmes années
Sciences Economiques.\medskip

\begin{center}
\textbf{2009-2010} \medskip
\end{center}

\noindent 1) TD Mathémtiques 1 et 2, pour les premièrs années LMD Mathé%
matiques Informatiques.\medskip

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\end{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

\begin{center}
\textbf{2010-2012}\medskip
\end{center}

\noindent 1) Cours et TD de Mathémtiques 1 et 2, pour les premièrs années
Sciences Economiques.

\noindent 2) Cours et TD de Mathémtiques 3, pour les deuxièmes années
Sciences Economiques.

\begin{center}
\textbf{2013-2021}\medskip
\end{center}

\noindent 1) Cours et TD de Mathémtiques Appliqueés, pour les deuxièmes anné%
es LMD chimies, sciences de la matière.

\noindent 2) TD de Mathémtiques 1 et 2, pour les premièrs années LMD
sciences de la matière.

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\subsection{Encadrements, Mémoires de Licence et de Master}

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\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent 
\begin{tabular}{ll}
\textbf{2016.} & - Estimation par intervalle de confiance. \\ 
& - Estimation par la méthode des moments.\bigskip \\ 
\textbf{2017.} & - Sur la théorie des valeurs extrêmes et mesures de
risque\bigskip \\ 
\textbf{2019.} & - Sur les copules et applications.\bigskip \\ 
\textbf{2020.} & - Statistiques des données climatiques. \\ 
& - Application des mesures de risque en finance.\bigskip \\ 
\textbf{2021.} & - Une application des copules en finance.%
\end{tabular}

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\section{Synthèse des Travaux de Recherches}

\subsection{Domaines de recherche}

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%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\begin{center}
\textbf{13 avril 2005. Magistère, Système dynamiques et contrôle}

\textbf{\ Promoteur: Prof. Sisaoui Hocine}

\textbf{Algorithme d'accélération pour la résolution d'un problème de mé%
canique de contacte.}\medskip
\end{center}

\noindent Mes activités de recherche en Magistère sont principalement centré%
es sur:\medskip

\begin{enumerate}
\item Modélisation et résolution numérique du problèmes de mécanique de
contact par la méthode de différences finis:

\begin{enumerate}
\item Programmation en Matlab.

\item Les algorithmes d'approximation.

\item L'accélération des algorithmes.

\item La convergence des solutions.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

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\subsection{Travaux doctorale}

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\begin{center}
\textbf{29 avril 2018. Doctorat en Statistiques}

\textbf{Promoteur: Prof. Yahia Djabrane.}

\textbf{Sur la théorie des valeurs extrêmes, mesures des risques et
applications.}\medskip
\end{center}

\noindent Une partie importante de mes travaux de doctorat a été consacrée à%
:\medskip

\begin{enumerate}
\item L'étude de distribution des valeurs extrêmes (EVD).

\item Les mesures de risque.

\item Estimation du paramètre de distortion.

\item Consistance et la normalité asymptotique de l'estimateur.\medskip
\end{enumerate}

----------------------

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Abd2016} {\small Brahimi, B. and Abdelli, J. Estimating the
distortion parameter of the proportional hazards premium for heavy-tailed
losses under Lévy-stable regime. Insurance Math. Econom. 70 (2016), 135--143.%
}
\end{thebibliography}

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\end{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent L'estimation de paramètre de distortion dans le cas de pertes ré%
elles, à queue lourde a été traités dans l'article de \cite{Brahi11}.\medskip

\noindent Dans mon travail de doctorat \cite{Abd2016}, j'ai étendu le
travail de \cite{Brahi11} pour le cas des pertes réels à queue
lourdes.\medskip

J'ai dérivé la normalité asymptotique de cet estimateur. J'ai construie
l'intervalle de confiance pratiquement mis en \oe uvre pour le paramètre de
distorsion et d'illustrer les performances de l'intervalle dans une étude de
simulation avec application à des données réelles.\medskip

-------------------------------------

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{Brahi11} {\small Brahimi, B., Meraghni, D., Necir, A. and Zitikis,
R., 2011. Estimating the distortion parameter of the proportional-hazard
premium for heavy-tailed losses. Insurance Math. Econom. 49, 325-334.}

\bibitem{Abd2016} {\small Brahimi, B. and Abdelli, J. Estimating the
distortion parameter of the proportional hazards premium for heavy-tailed
losses under Lévy-stable regime. Insurance Math. Econom. 70 (2016), 135--143.%
}\medskip
\end{thebibliography}

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\end{frame}%
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\part{DOSSIER SCIENTIFIQUE}

\section{Productions Scientifiques Postdoctorale}

\subsection{Abdelli, J. and Brahimi, B. (2021), "On copula moment: empirical
likelihood based estimation method", Arab Journal of Mathematical Sciences,
Vol. ahead-of-print No. ahead-of-print.
https://doi.org/10.1108/AJMS-01-2021-0025}

\part{DOSSIER SCIENTIFIQUE}

\section{Introduction}

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

L'un des principaux sujets de l'analyse statistique multivariée est l'infé%
rence statistique sur le paramètre de dépendance $\boldsymbol{\theta }$. Les
méthodes de concordance \cite{Oak82}. Le pseudo maximum de vraisemblance, 
\cite{Geetal95}. Fonction d'inférence des marges \cite{Joe05}. Distance
minimale \cite{Tsukahara2005} et récemment les méthodes basées sur le moment
de la copule et les L-moments données dans \cite{BN2012} et \cite{BCN2015}%
.\medskip

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginColumns}{\begin{columns}[5cm]}}%
%BeginExpansion
\begin{columns}[5cm]%
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%TCIMACRO{\TeXButton{Column}{\column{5cm}}}%
%BeginExpansion
\column{5cm}%
%EndExpansion

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{Oak82} {\small Oakes, D., 1982. A model for association in
bivariate survival data. J. Roy. Statist. Soc.......}

\bibitem{Geetal95} {\small Genest, et al. 1995. A semiparametric estimation
procedure of dependence parameters in multivariate families of
distributions.....}

\bibitem{Joe05} {\small Joe, H., 2005. Asymptotic efficiency of the
two-stage estimation method for copula-based models. ...}
\end{thebibliography}

%TCIMACRO{\TeXButton{Column}{\column{5cm}}}%
%BeginExpansion
\column{5cm}%
%EndExpansion

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{Tsukahara2005} {\small Tsukahara, H., 2005. Semiparametric
estimation in copula models. ....}

\bibitem{BN2012} {\small Brahimi, B. and Necir, A., 2012. A semiparametric
estimation of copula models based on the method of moments. ....}

\bibitem{BCN2015} {\small Brahimi et al. 2015. Copula representation of
bivariate L-moments: a new estimation method for multiparameter
two-dimensional copula models. ....}
\end{thebibliography}

%TCIMACRO{\TeXButton{EndColumns}{\end{columns}}}%
%BeginExpansion
\end{columns}%
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\end{frame}%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent Dans cet article, nous avons appliqué la méthode de vraisemblance
empirique aux méthodes d'estimation basées sur le moment de la copule proposé%
es à l'origine par \cite{Owen88,Owen90,Owen01}. \medskip

------------------------------------------

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{Owen88} {\small Owen, A.B., 1988. Empirical likelihood ratio
confidence intervals for a single functional. Biometrika 75, 237-249.}

\bibitem{Owen90} {\small Owen, A.B., 1990. Empirical likelihood confidence
regions. Ann. Statist. 18, 90-120.}

\bibitem{Owen01} {\small Owen, A.B., 2001. Empirical likelihood. Chapman \&
Hall/CRC, Boca Raton, London, New York, Washington.}
\end{thebibliography}

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\transboxout%
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%TCIMACRO{\TeXButton{EndFrame}{\end{frame}}}%
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\end{frame}%
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\section{Vraisemblance empirique basée sur la méthode d'estimation CM}

\subsection{Estimation basée sur les moments de la copule}

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent On considère la famille des copules Archimédienne définie par 
\begin{equation*}
C(\mathbf{u})=\varphi ^{-1}\left( \sum_{j=1}^{d}\varphi (u_{j})\right) ,
\end{equation*}%
où $\varphi :\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ le générateur, $%
\mathbf{u}=\left( u_{1},...,u_{d}\right) .$ (voir, Tableau 4.1 dans Nelsen
2006, page 116).\medskip

\noindent Soit $\mathbf{K}_{C}(s):=P\left( C\left( \mathbf{U}\right) \leq
s\right) ,$ $s\in \left[ 0,1\right] ,$ la fonction de distribution de la va $%
C\left( \mathbf{U}\right) .$\medskip

\noindent Soit $\varphi =\varphi _{\mathbf{\theta }},$ il s'ensuit que $C=C_{%
\mathbf{\theta }},$ $\mathbf{K}_{C}=\mathbf{K}_{\mathbf{\theta }}$ du Théorè%
me 4.3.4 dans Nelsen 2006 on a 
\begin{equation*}
\mathbf{K}_{\mathbf{\theta }}(s)=s-\frac{\varphi _{\mathbf{\theta }}\left(
s\right) }{\varphi _{\mathbf{\theta }}^{\prime }\left( s\right) }.
\end{equation*}

---------------------------------------

\begin{colormixin}{100}%
  \pgfdeclarehorizontalshading{cover}{20pt}{%
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                                %
  \pgfdeclareverticalshading{side}{10pt}{%
    rgb(0pt)=(0.78,.78,.78);
    rgb(2.5pt)=(0.60,.60,.60);
    rgb(5pt)=(0.25,.25,.25)}%
  \noindent\hbox{%
    \begin{pgfpicture}{0pt}{1pt}{14pt}{11pt}
      \pgfsetxvec{\pgfpoint{1pt}{0pt}}
      \pgfsetyvec{\pgfpoint{0pt}{1pt}}
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    \end{pgfpicture}%
  }%
\end{colormixin}\ 
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{\small {Nelsen, R. B.,
2006. An Introduction to Copulas, second ed. Springer, New York.}}

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\end{frame}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent Alors le $k$ième-moment $M_{k}\left( C\right) ,$ appelé \textit{%
copula moment,} de la va $C\left( \mathbf{U}\right) $ donné par Brahimi et
Necir (2012) comme%
\begin{equation}
M_{k}\left( C\right) :=\mathbb{E}\left[ \left( C\left( \mathbf{U}\right)
\right) ^{k}\right] =\int_{\left[ 0,1\right] ^{d}}\left( C\left( \mathbf{u}%
\right) \right) ^{k}dC\left( \mathbf{u}\right) ,\text{ }k=1,2,...  \label{MK}
\end{equation}%
peut être réécrit en termes de $\varphi _{\mathbf{\theta }}$:%
\begin{equation}
M_{k}\left( \mathbf{\theta }\right) =\int_{0}^{1}s^{k}\frac{\varphi _{%
\mathbf{\theta }}^{\prime \prime }\left( s\right) \varphi _{\mathbf{\theta }%
}\left( s\right) }{\left( \varphi _{\mathbf{\theta }}^{\prime }\left(
s\right) \right) ^{2}}ds,\text{ }k=1,2,...  \label{lamdateta}
\end{equation}%
sa valeur empirique est%
\begin{equation}
\widehat{M}_{k}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( C_{n}\left( \widehat{%
\mathbf{U}}_{i}\right) \right) ^{k},  \label{M}
\end{equation}%
---------------------------------------

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{} {\small Brahimi, B. and Necir, A., 2012. A semiparametric
estimation of copula models based on the method of moments. Stat. Methodol.
9 (4), 467-477.}
\end{thebibliography}

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%EndExpansion
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\end{frame}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

où $C_{n}$ est la copule empirique définie par%
\begin{equation*}
C_{n}\left( \mathbf{u}\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}\left\{ 
\widehat{F}_{1n}\left( X_{1i}\right) \leq u_{1},...,\widehat{F}_{dn}\left(
X_{di}\right) \leq u_{d}\right\}
\end{equation*}%
avec 
\begin{equation*}
\widehat{F}_{jn}\left( x_{j}\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}%
\left\{ X_{ji}\leq x_{j}\right\} ,\text{ }j=1,...,d.
\end{equation*}%
et 
\begin{equation}
\widehat{\mathbf{U}}_{i}:=\left( \widehat{U}_{1i},...,\widehat{U}%
_{di}\right) ,\text{ }\widehat{U}_{ji}:=\widehat{F}_{jn}\left( X_{ji}\right)
,i=1,...,n.  \label{Uhat}
\end{equation}

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\begin{frame}%
%EndExpansion

Supposons maintenant que $\mathbf{\theta }$ satisfait les équations
suivantes 
\begin{equation}
\mathbb{E}[L_{k}\left( \mathbf{U};\mathbf{\theta }\right) ]=0,k=1,2,...,r
\label{2}
\end{equation}%
où%
\begin{equation}
L_{k}\left( \mathbf{u};\mathbf{\theta }\right) :=\left( C_{\mathbf{\theta }%
}\left( \mathbf{u}\right) \right) ^{k}-\widehat{M}_{k}\ \ \ \ \ k=1,2,...,r
\label{Lk}
\end{equation}%
et%
\begin{equation}
\mathbf{L}\left( \mathbf{u};\mathbf{\theta }\right) =\left( L_{1}\left( 
\mathbf{u};\mathbf{\theta }\right) ,...,L_{r}\left( \mathbf{u};\mathbf{%
\theta }\right) \right) .
\end{equation}%
est une fonction à valeur vectorielle, appelée fonction d'estimation.

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\end{frame}%
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\subsection{Consistence et normalité asymptotique}

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\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent Soit $\mathbf{\theta }_{0}$ la valeur théorique de $\mathbf{\theta 
}$ et supposons que les hypothèses suivantes $\left[ H.1\right] -\left[ H.3%
\right] $ sont vérifiées.

\begin{itemize}
\item $\left[ H.1\right] $ $\mathbf{\theta }_{0}\in \mathcal{O}\subset 
\mathbb{R}^{r}$ est l'unique zéro de l'application $\mathbf{\theta }%
\rightarrow \int_{\left[ 0,1\right] ^{d}}\mathbf{L}\left( \mathbf{u};\mathbf{%
\theta }\right) dC_{\mathbf{\theta }_{0}}\left( \mathbf{u}\right) $ qui est d%
éfini à partir de $\mathcal{O}$ dans $\mathbb{R}^{r}.$

\item $\left[ H.2\right] $ $\mathbf{L}\left( \cdot ;\mathbf{\theta }\right) $
est différentiable par rapport à $\mathbf{\theta }$ avec la matrice
jacobienne notée par%
\begin{equation*}
\overset{\bullet }{\mathbf{L}}\left( \mathbf{u};\mathbf{\theta }\right) :=%
\left[ \frac{\partial L_{k}\left( \mathbf{u};\mathbf{\theta }\right) }{%
\partial \theta _{\ell }}\right] _{r\times r},
\end{equation*}%
$\overset{\bullet }{\mathbf{L}}\left( \mathbf{u};\mathbf{\theta }\right) $
est continue à la fois dans $\mathbf{u}$ et $\mathbf{\theta },$ et la norme
Euclidienne $\left\vert \overset{\bullet }{\mathbf{L}}\left( \mathbf{u};%
\mathbf{\theta }\right) \right\vert $ est dominé par un $dC_{\mathbf{\theta }%
}$-fonction intégrable $h\left( \mathbf{u}\right) .$

\item $\left[ H.3\right] $ La $r\times r$ matrice $A_{0}:=\int_{\left[ 0,1%
\right] ^{d}}\overset{\bullet }{\mathbf{L}}\left( \mathbf{u};\mathbf{\theta }%
_{0}\right) dC_{\mathbf{\theta }_{0}}\left( \mathbf{u}\right) $ est non
singulier.
\end{itemize}

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\end{frame}%
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\begin{frame}%
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\begin{theorem}[Brahimi et Necir 2012]
Supposons que les hypothèses $\left[ H.1\right] -\left[ H.3\right] $ soient v%
érifiées. Supposons ensuite que la condition d'ordre de concordance soit vé%
rifiée. Alors avec une probabilité tendant vers un comme $n\rightarrow
\infty ,$ il existe une solution $\widehat{\mathbf{\theta }}^{CM}$ au systè%
me $\left( \ref{2}\right) $ qui converge vers $\mathbf{\theta }_{0}.$ De
plus 
\begin{equation*}
\sqrt{n}\left( \widehat{\mathbf{\theta }}^{CM}-\mathbf{\theta }_{0}\right) 
\overset{\mathcal{D}}{\rightarrow }\mathcal{N}\left( \mathbf{0}%
,A_{0}^{-1}D_{0}\left( A_{0}^{-1}\right) ^{T}\right) ,\text{ quand }%
n\rightarrow \infty ,
\end{equation*}%
où 
\begin{equation*}
D_{0}:=var\left\{ \mathbf{L}\left( \mathbf{\xi };\mathbf{\theta }_{0}\right)
+\mathbf{V}\left( \mathbf{\xi };\mathbf{\theta }_{0}\right) \right\} \text{
et }\mathbf{V}\left( \mathbf{\xi };\mathbf{\theta }_{0}\right) =\left(
V_{1}\left( \mathbf{\xi };\mathbf{\theta }_{0}\right) ,...,V_{r}\left( 
\mathbf{\xi };\mathbf{\theta }_{0}\right) \right)
\end{equation*}
\end{theorem}

\noindent Avec 
\begin{equation*}
V_{k}\left( \mathbf{\xi };\mathbf{\theta }_{0}\right) :=\sum_{j=1}^{d}\int_{%
\left[ 0,1\right] ^{d}}\tfrac{\partial \left( C_{\mathbf{\theta }_{0}}\left( 
\mathbf{u}\right) \right) ^{k}}{\partial u_{j}}\left( \mathbf{1}\left\{ \xi
_{j}\leq u_{j}\right\} -u_{j}\right) dC_{\mathbf{\theta }_{0}}\left( \mathbf{%
u}\right) ,\text{ }k=1,...,r,
\end{equation*}%
où $\mathbf{\xi :=}\left( \xi _{1},...,\xi _{d}\right) $ est un $\left(
0,1\right) ^{d}$-vecteur aléatoire uniforme avec la fonction de distribution
joint $C_{\mathbf{\theta }_{0}}.$

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\end{frame}%
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\subsection{Méthode d'estimation de la vraisemblance empirique}

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent La vraisemblance de la fonction de distribution $\mathbf{K}_{C}$
de la va $C\left( \mathbf{U}\right) $ est défini par 
\begin{equation}
\mathcal{L}(\mathbf{K}_{C})=\prod_{i=1}^{n}\mathbf{K}_{C}^{\prime }(C\left( 
\mathbf{U}_{i}\right) ),  \label{1}
\end{equation}%
où $\mathbf{U}_{i}:=\left( U_{i1},...,U_{id}\right) .$ Nous restreignons $%
\mathbf{K}_{C}$ à celui ayant la probabilité 
\begin{equation*}
p_{i}=\mathbf{K}_{C}^{\prime }(C\left( \mathbf{U}_{i}\right) )>0
\end{equation*}%
à chaque observation $\mathbf{U}_{i}$. Par un simple calcul, on a 
\begin{equation*}
\mathcal{R}(\mathbf{K}_{C})=\frac{\mathcal{L}(\mathbf{K}_{C})}{\mathcal{L}(%
\mathbf{K}_{C_{n}})}=\frac{\prod_{i=1}^{n}p_{i}}{\prod_{i=1}^{n}1/n}%
=\prod_{i=1}^{n}(np_{i}).
\end{equation*}

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\end{frame}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent Nous définissons maintenant la fonction de rapport de
vraisemblance empirique pour $\mathbf{\theta }$ par 
\begin{equation*}
\mathcal{L}\left( \mathbf{\theta }\right) :=\sup_{\mathbf{p}}\left\{
\dprod\limits_{i=1}^{n}\left( np_{i}\right) :\sum_{i=1}^{n}p_{i}L_{k}\left( 
\mathbf{U}_{i},\mathbf{\theta }\right) =\mathbf{0},p_{i}>0,%
\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\right\}
\end{equation*}%
où $\mathbf{p}=(p_{1},...,p_{n})$. C'est le maximum du rapport de
vraisemblance avec la restriction que la moyenne de la fonction d'estimation
est nulle sous la distribution $\mathbf{K}_{\mathbf{\theta }}.$\medskip

\noindent Soient, pour $k=1,...,r$ 
\begin{equation*}
L_{i}^{\left( k\right) }=\left( C_{\boldsymbol{\theta }}\left( \mathbf{U}%
_{i}\right) \right) ^{k}-M_{k}\left( \boldsymbol{\theta }\right)
\end{equation*}%
et 
\begin{equation*}
\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }=\left( C_{n}\left( \widehat{\mathbf{U}}%
_{i}\right) \right) ^{k}-M_{k}\left( \boldsymbol{\theta }\right)
\end{equation*}%
où $M_{k}$ est défini dans (\ref{M}). Ensuite, la vraisemblance empirique é%
valuée à $\mathbf{\theta }$ est définie comme 
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal{L}}\left( \mathbf{\theta }\right) =\sup_{\mathbf{p}%
}\left\{ \dprod\limits_{i=1}^{n}\left( np_{i}\right)
:\sum_{i=1}^{n}p_{i}L_{i}^{\left( k\right) }=\mathbf{0}%
,\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\right\}
\end{equation*}

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\end{frame}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

Puisque les $L_{i}^{\left( k\right) }$ dépendent de $C_{\mathbf{\theta }}$,
pour un $\mathbf{\theta }$ inconnu, nous les remplaçons par les estimateurs $%
\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }$. Par conséquent, la vraisemblance
empirique évaluée à $\mathbf{\theta }$ est définie par

\begin{equation*}
\mathcal{L}\left( \mathbf{\theta }\right) :=\sup_{\mathbf{p}}\left\{
\dprod\limits_{i=1}^{n}\left( np_{i}\right) :\sum_{i=1}^{n}p_{i}\widehat{L}%
_{i,n}^{\left( k\right) }=\mathbf{0},\sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\right\} .
\end{equation*}%
Maintenant, en introduisant un vecteur de multiplicateurs de Lagrange $%
\mathbf{\lambda }=\left( \lambda _{1},...,\lambda _{r}\right) \in \mathbb{R}%
^{r}$ et $\gamma \in \mathbb{R},$ pour trouver les $p_{i}$ optimaux c'est-à%
-dire en maximise 
\begin{equation*}
G=\sum_{i=1}^{n}\log \left( np_{i}\right) -n\mathbf{\lambda }%
\sum_{i=1}^{n}p_{i}\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }+\gamma \left(
\sum_{i=1}^{n}p_{i}-1\right) .
\end{equation*}

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\end{frame}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

Ainsi, la définition $\dfrac{\partial G}{\partial p_{i}}=0$ nous donne 
\begin{equation*}
\dfrac{\partial G}{\partial p_{i}}=\frac{1}{p_{i}}-n\lambda _{k}\widehat{L}%
_{i,n}^{\left( k\right) }+\gamma .
\end{equation*}

Par conséquent, l'équation $\dsum_{i=1}^{n}p_{i}\dfrac{\partial G}{\partial
p_{i}}=0$ donne $\gamma =-n.$ Alors, $p_{i}$ est donné par%
\begin{equation*}
p_{i}=\frac{1}{n}\frac{1}{1+\lambda _{k}\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }}%
=:p_{i,k}.
\end{equation*}

%TCIMACRO{\TeXButton{Transition: Box Out}{\transboxout}}%
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\end{frame}%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

Nous avons le problème que toutes les solutions $%
p_{1,k},p_{2,k},...,p_{n,k}, $ $\mathbf{\lambda }$ et $\gamma $ ne sont pas
obtenues sous une forme explicite. Notons que pour $k=1,2,...,r:$ $%
\prod_{i=1}^{n}p_{i,k}$, tel que $\sum_{i=1}^{n}p_{i,k}=1,$ atteint son
maximum $n^{-n}$ à $p_{i,k}=1/n.$ Nous définissons donc le rapport de
vraisemblance empirique pour $\mathbf{\theta } $\ par 
\begin{equation*}
\mathcal{R}\left( \mathbf{\theta }\right) =\dprod\limits_{i=1}^{n}\left(
np_{i,k}\right) =\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\lambda _{k}\widehat{L}%
_{i,n}^{\left( k\right) }},
\end{equation*}%
et le rapport de vraisemblance empirique correspondant est défini par 
\begin{equation}
\mathcal{L}\left( \mathbf{\theta }\right) =-2\log \mathcal{R}\left( \mathbf{%
\theta }\right) =2\dsum_{i=1}^{n}\log \left( 1+\lambda _{k}\widehat{L}%
_{i,n}^{\left( k\right) }\right)  \label{5}
\end{equation}%
où le vecteur $\mathbf{\lambda }$ est la solution du système de $r$ é%
quations donné par 
\begin{equation}
\frac{\partial \mathcal{L}\left( \mathbf{\theta }\right) }{\partial \mathbf{%
\lambda }}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }}{%
1+\lambda _{k}\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }}=0,k=1,2,...,r.  \label{4}
\end{equation}%
Puisque (\ref{4}) est une fonction implicite de $\mathbf{\lambda }$, nous
pouvons résoudre (\ref{4}) par rapport à $\mathbf{\lambda }$ par la procé%
dure itérative telle que la méthode de Newton-Raphson.

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\transboxout%
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\end{frame}%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\begin{theorem}
\label{Th1}Supposons que les conditions $\left[ H.1\right] -\left[ H.3\right]
$ soient vérifiées. Alors la distribution limite de $\mathcal{L}(\boldsymbol{%
\theta })$ est une distribution du Khi deux avec $r$ degrés de liberté,
c'est-à-dire%
\begin{equation*}
\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta })\rightarrow \chi _{\left( r\right) }^{2}
\end{equation*}
\end{theorem}

%TCIMACRO{\TeXButton{Transition: Box Out}{\transboxout}}%
%BeginExpansion
\transboxout%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{EndFrame}{\end{frame}}}%
%BeginExpansion
\end{frame}%
%EndExpansion

\section{Simulation}

\subsection{Exemple illustratif et étude de simulation}

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\noindent Soit%
\begin{equation*}
C_{\alpha ,\beta }\left( \mathbf{u}\right) :=\left( \left( \left(
u_{1}^{-\alpha }-1\right) ^{\beta }+\left( u_{2}^{-\alpha }-1\right) ^{\beta
}\right) ^{1/\beta }+1\right) ^{-1/\alpha },
\end{equation*}%
qui est aussi une copule d'Archimède à deux paramètres avec le générateur $%
\varphi _{\alpha ,\beta }\left( t\right) :=\left( t^{-\alpha }-1\right)
^{\beta }.$

\noindent Par un calcul élémentaire, nous obtenons que les deux premiers
moment des copule sont%
\begin{equation*}
M_{1}\left( \alpha ,\beta \right) :=\dfrac{2\beta +\alpha \beta -1}{4\beta
+2\alpha \beta }\text{ and }M_{2}\left( \alpha ,\beta \right) :=\dfrac{%
3\beta +\alpha \beta -2}{9\beta +3\alpha \beta }.
\end{equation*}%
la solution unique du système 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
M_{1}\left( \alpha ,\beta \right) =\widehat{M}_{1} \\ 
M_{2}\left( \alpha ,\beta \right) =\widehat{M}_{2}%
\end{array}%
\right. \ \ \Longrightarrow \text{\ \ }\left\{ 
\begin{array}{c}
\widehat{\alpha }=\frac{8\widehat{M}_{1}-9\widehat{M}_{2}-1}{1-4\widehat{M}%
_{1}+3\widehat{M}_{2}} \\ 
\widehat{\beta }=\frac{1-4\widehat{M}_{1}+3\widehat{M}_{2}}{\left( 1-2%
\widehat{M}_{1}\right) \left( 1-3\widehat{M}_{2}\right) }%
\end{array}%
\right. ,
\end{equation*}%
donc 
\begin{equation*}
\widehat{\mathbf{\theta }}^{CM}=\left( \widehat{\alpha },\widehat{\beta }%
\right)
\end{equation*}

%TCIMACRO{\TeXButton{Transition: Box Out}{\transboxout}}%
%BeginExpansion
\transboxout%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{EndFrame}{\end{frame}}}%
%BeginExpansion
\end{frame}%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

\textbf{Step 1}: Pour un échantillon donné $\left( \mathbf{X}_{1},...,%
\mathbf{X}_{n}\right) $ du vecteur aléatoire $\mathbf{X=}\left(
X_{1},X_{2}\right) $, on définit la distribution conjointe empirique
correspondant par 
\begin{equation*}
C_{n}\left( \mathbf{x}\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{1}\left\{
X_{1i}\leq x_{1},X_{2i}\leq x_{2}\right\} .
\end{equation*}%
où $\mathbf{x:=}\left( x_{1},x_{2}\right) ,$ et en calcule 
\begin{equation*}
\widehat{\mathbf{U}}_{i}:=\left( \widehat{U}_{1i},\widehat{U}_{2i}\right) ,%
\text{ }\widehat{U}_{1i}=\frac{rank\left( X_{1i}\right) }{n+1},\widehat{U}%
_{2i}=\frac{rank\left( X_{2i}\right) }{n+1},i=1,...,n.
\end{equation*}

--------------------------------

\begin{thebibliography}{}
\bibitem{Genest95} {\small Genest, C.; Ghoudi, K.; Rivest, L.-P. A
semiparametric estimation procedure of dependence parameters in multivariate
families of distributions. Biometrika 82 (1995), no. 3, 543--552.}
\end{thebibliography}

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\end{frame}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

\textbf{Step 2}:

On trouve numériquement l'approximation précise des zéro de la fonction 
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}\frac{\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }}{1+\lambda _{k}%
\widehat{L}_{i,n}^{\left( k\right) }}=0,k=1,2
\end{equation*}
par rapport à $\mathbf{\lambda =}\left( \lambda _{1},\lambda _{2}\right) $
par la procédure itérative de la méthode de Newton-Raphson.\medskip

Ensuite, résoudre le système suivant pour $k=1,2,$ 
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda _{k}\left( \left( C_{n}\left( \widehat{%
\mathbf{U}}_{i}\right) \right) ^{k}-M_{k}\left( \boldsymbol{\theta }\right)
\right) \right) ^{-1}=0,
\end{equation*}%
la solution obtenue $\boldsymbol{\hat{\theta}}^{ELCM}:=\left( \widetilde{%
\alpha },\widetilde{\beta }\right) .$

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%EndExpansion
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\end{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

Le générateur $\varphi _{\alpha ,\beta }\left( s\right) :=\left( s^{-\alpha
}-1\right) ^{\beta },$ alors

\begin{equation*}
\mathbf{K}_{C}^{\prime }\left( s\right) =\frac{\varphi _{\alpha ,\beta
}^{\prime \prime }\left( s\right) \varphi _{\alpha ,\beta }\left( s\right) }{%
\left( \varphi _{\alpha ,\beta }^{\prime }\left( s\right) \right) ^{2}}=%
\frac{s\left( s^{\alpha }-1\right) }{\alpha \beta }
\end{equation*}%
maxLik-package

\texttt{denkc \TEXTsymbol{<}- function(param) \{}

\texttt{alpha \TEXTsymbol{<}- param[1]}

\texttt{beta \TEXTsymbol{<}- param[2]}

\texttt{Value\TEXTsymbol{<}- function(x)(x*(x\symbol{94}alpha -
1)/(alpha*beta))}

\texttt{sum(Value)}

\texttt{\}}

\#\# on estime avec alpha=0.1, beta=1.059 comme génération de va avec le
syntaxe

\texttt{ml \TEXTsymbol{<}- maxLik(denkc, start = c(alpha=0.1, beta=1.059) )}

\texttt{teta=c(coef(ml)\$param[1],coef(ml)\$param[2])}

$\boldsymbol{\hat{\theta}}^{PML}:=\left( \hat{\alpha},\hat{\beta}\right) .$

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\end{frame}%
%EndExpansion

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\begin{frame}%
%EndExpansion

La formule de $\tau $ de Kendall de la copule de Gumbel transformée utilisée
dans l'étude de simulation est: 
\begin{equation*}
\tau =4M_{1}\left( \alpha ,\beta \right) -1=\frac{2\beta +\alpha \beta -2}{%
\beta \left( \alpha +2\right) }\Longrightarrow \beta =\frac{2}{2+\alpha
-\tau \left( \alpha +2\right) }
\end{equation*}

%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering} }%
%BeginExpansion
\begin{table}[h] \centering
%EndExpansion
\begin{tabular}{c|c|c|c}
& ${\small \tau }$ & ${\small \alpha }$ & ${\small \beta }$ \\ \hline\hline
Faible & ${\small 0.1}$ & ${\small 0.1}$ & ${\small 1.059}$ \\ \hline
Modérer & ${\small 0.5}$ & ${\small 0.5}$ & ${\small 1.600}$ \\ \hline
Fort & ${\small 0.8}$ & ${\small 0.9}$ & ${\small 3.450}$ \\ \hline
\end{tabular}%
$\ \ \ \ \ $%
\caption{Les valeurs théoriques des paramètres de la copule de
Gumbel transformée utilisée pour l'étude de simulation.}\label{T1}%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
%EndExpansion

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\begin{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering}}%
%BeginExpansion
\begin{table}[h] \centering%
%EndExpansion
\begin{tabular}{c|cccc|l}
& \multicolumn{4}{c|}{${\small \tau =0.1}$} &  \\ \hline
& \multicolumn{2}{c}{${\small \alpha =0.1}$} & \multicolumn{2}{c|}{${\small %
\beta =1.059}$} &  \\ \hline
\multicolumn{1}{l|}{${\small n}$} & {\small Bias} & {\small RMSE} & {\small %
Bias} & {\small RMSE} & {\small CPU} \\ \hline\hline
\multicolumn{1}{l|}{${\small 50}$} & \multicolumn{1}{|r}{${\small 0.047}$} & 
\multicolumn{1}{r}{${\small 0.103}$} & \multicolumn{1}{r}{${\small 0.024}$}
& \multicolumn{1}{r|}{${\small 0.138}$} & ${\small 1.462}$ {\small \ hours}
\\ 
\multicolumn{1}{l|}{${\small 100}$} & \multicolumn{1}{|r}{${\small 0.023}$}
& \multicolumn{1}{r}{${\small 0.088}$} & \multicolumn{1}{r}{${\small 0.022}$}
& \multicolumn{1}{r|}{${\small 0.100}$} & ${\small 3.025}${\small \ hours}
\\ 
${\small 200}$ & \multicolumn{1}{|r}{${\small 0.009}$} & \multicolumn{1}{r}{$%
{\small 0.079}$} & \multicolumn{1}{r}{${\small 0.011}$} & 
\multicolumn{1}{r|}{${\small 0.057}$} & ${\small 4.710}$ {\small hours} \\ 
\multicolumn{1}{l|}{${\small 500}$} & \multicolumn{1}{|r}{${\small 0.003}$}
& \multicolumn{1}{r}{${\small 0.035}$} & \multicolumn{1}{r}{${\small 0.009}$}
& \multicolumn{1}{r|}{${\small 0.040}$} & ${\small 7.221}${\small \ hours}
\\ \hline\hline
\end{tabular}%
\caption{Biais et RMSE de l'estimateur ELCM de la copule de Gumbel
transformée à deux paramètres. }\label{T2}%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
%EndExpansion

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\begin{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering}}%
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\begin{table}[h] \centering%
%EndExpansion
\begin{tabular}{c|cccc|l}
& \multicolumn{4}{|c|}{${\small \tau =0.5}$} &  \\ \hline
& \multicolumn{2}{|c}{${\small \alpha =0.5}$} & \multicolumn{2}{c|}{${\small %
\beta =1.6}$} &  \\ \hline
\multicolumn{1}{l|}{${\small n}$} & {\small Bias} & {\small RMSE} & {\small %
Bias} & {\small RMSE} & {\small CPU} \\ \hline\hline
\multicolumn{1}{l|}{${\small 50}$} & \multicolumn{1}{|r}{${\small 0.033}$} & 
\multicolumn{1}{r}{${\small 0.118}$} & \multicolumn{1}{r}{${\small 0.012}$}
& \multicolumn{1}{r|}{${\small 0.213}$} & ${\small 1.462}$ {\small \ hours}
\\ 
\multicolumn{1}{l|}{${\small 100}$} & ${\small 0.019}$ & ${\small 0.057}$ & $%
{\small 0.009}$ & ${\small 0.126}$ & ${\small 3.025}${\small \ hours} \\ 
${\small 200}$ & ${\small 0.007}$ & ${\small 0.046}$ & ${\small 0.008}$ & $%
{\small 0.097}$ & ${\small 4.710}$ {\small hours} \\ 
\multicolumn{1}{l|}{${\small 500}$} & ${\small 0.001}$ & ${\small 0.029}$ & $%
{\small 0.003}$ & ${\small 0.092}$ & ${\small 7.221}${\small \ hours} \\ 
\hline\hline
\end{tabular}%
\caption{Biais et RMSE de l'estimateur ELCM de la copule de Gumbel
transformée à deux paramètres. }%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
%EndExpansion

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%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering}}%
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\begin{table}[h] \centering%
%EndExpansion
\begin{tabular}{c|cccc|l}
& \multicolumn{4}{|c|}{${\small \tau =0.8}$} &  \\ \hline
& \multicolumn{2}{|c}{${\small \alpha =0.9}$} & \multicolumn{2}{c|}{${\small %
\beta =3.45}$} &  \\ \hline
\multicolumn{1}{l|}{${\small n}$} & {\small Bias} & {\small RMSE} & {\small %
Bias} & {\small RMSE} & {\small CPU} \\ \hline\hline
\multicolumn{1}{l|}{${\small 50}$} & \multicolumn{1}{|r}{${\small 0.036}$} & 
\multicolumn{1}{r}{${\small 0.113}$} & \multicolumn{1}{r}{${\small 0.073}$}
& \multicolumn{1}{r|}{${\small 0.349}$} & ${\small 1.462}$ {\small \ hours}
\\ 
\multicolumn{1}{l|}{${\small 100}$} & ${\small 0.021}$ & ${\small 0.071}$ & $%
{\small 0.014}$ & ${\small 0.294}$ & ${\small 3.025}${\small \ hours} \\ 
${\small 200}$ & ${\small 0.004}$ & ${\small 0.064}$ & ${\small 0.026}$ & $%
{\small 0.105}$ & ${\small 4.710}$ {\small hours} \\ 
\multicolumn{1}{l|}{${\small 500}$} & ${\small 0.002}$ & ${\small 0.018}$ & $%
{\small 0.007}$ & ${\small 0.112}$ & ${\small 7.221}${\small \ hours} \\ 
\hline\hline
\end{tabular}%
\caption{Biais et RMSE de l'estimateur ELCM de la copule de Gumbel
transformée à deux paramètres. }%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering}}%
%BeginExpansion
\begin{table}[h] \centering%
%EndExpansion
\begin{tabular}{ccccccccc}
& \multicolumn{8}{c}{${\tiny \tau =0.1}$} \\ \hline
& \multicolumn{2}{c}{${\tiny \alpha =0.1}$} & \multicolumn{2}{c}{${\tiny %
\beta =1.059}$} & \multicolumn{2}{c}{${\tiny \alpha =0.1}$} & 
\multicolumn{2}{c}{${\tiny \beta =1.059}$} \\ \hline
& {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & 
{\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} \\ \hline\hline
\multicolumn{5}{c}{${\tiny n=50}$} & \multicolumn{4}{c}{${\tiny n=200}$} \\ 
\hline
\multicolumn{1}{l}{\tiny ELCM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.049} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.093} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.028} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.137} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.011} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.057} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.015} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.064} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny CM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.075} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.224} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.042} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.121} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.020} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.121} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.011} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.100} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny PML} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.059} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.098} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.324} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.333} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.041} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.038} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.282} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.285} \\ \hline\hline
\multicolumn{5}{c}{${\tiny n=100}$} & \multicolumn{4}{c}{${\tiny n=500}$} \\ 
\hline
\multicolumn{1}{l}{\tiny ELCM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.023} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.087} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.021} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.103} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.005} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.037} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.007} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.044} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny CM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.035} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.234} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.010} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.130} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.010} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.102} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.008} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.046} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny PML} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.049} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.051} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.466} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.470} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.040} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.061} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.203} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.210} \\ \hline\hline
\end{tabular}%
\caption{Biais et RMSE des estimateurs ELCM, CM et PML de la copule de
Gumbel transformée à deux paramètres.}\label{T3}%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
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\begin{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering}}%
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\begin{table}[h] \centering%
%EndExpansion
\begin{tabular}{ccccccccc}
& \multicolumn{8}{c}{${\tiny \tau =0.5}$} \\ \hline
& \multicolumn{2}{c}{${\tiny \alpha =0.5}$} & \multicolumn{2}{c}{${\tiny %
\beta =1.6}$} & \multicolumn{2}{c}{${\tiny \alpha =0.5}$} & 
\multicolumn{2}{c}{${\tiny \beta =1.6}$} \\ \hline
& {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & 
{\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} \\ \hline\hline
\multicolumn{5}{c}{${\tiny n=50}$} & \multicolumn{4}{c}{${\tiny n=200}$} \\ 
\hline
\multicolumn{1}{l}{\tiny ELCM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.031} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.101} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.031} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.229} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.013} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.045} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.013} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.099} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny CM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.078} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.452} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.061} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.326} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.029} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.367} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.015} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.257} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny PML} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.060} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.299} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.273} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.482} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.081} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.164} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.304} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.469} \\ \hline\hline
\multicolumn{5}{c}{${\tiny n=100}$} & \multicolumn{4}{c}{${\tiny n=500}$} \\ 
\hline
\multicolumn{1}{l}{\tiny ELCM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.021} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.077} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.029} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.111} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.009} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.031} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.009} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.091} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny CM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.025} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.494} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.014} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.353} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.014} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.233} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.011} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.120} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny PML} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.061} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.231} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.327} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.433} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny -0.046} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.100} & \multicolumn{1}{r}{\tiny -0.302} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.225} \\ \hline\hline
\end{tabular}%
\caption{Biais et RMSE des estimateurs ELCM, CM et PML de la copule de
Gumbel transformée à deux paramètres.}%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
%EndExpansion

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%TCIMACRO{\TeXButton{EndFrame}{\end{frame}}}%
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\end{frame}%
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%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
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\begin{frame}%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{B}{\begin{table}[h] \centering}}%
%BeginExpansion
\begin{table}[h] \centering%
%EndExpansion
\begin{tabular}{ccccccccc}
& \multicolumn{8}{c}{${\tiny \tau =0.8}$} \\ \hline
& \multicolumn{2}{c}{${\tiny \alpha =0.9}$} & \multicolumn{2}{c}{${\tiny %
\beta =3.45}$} & \multicolumn{2}{c}{${\tiny \alpha =0.9}$} & 
\multicolumn{2}{c}{${\tiny \beta =3.45}$} \\ \hline
& {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & 
{\tiny RMSE} & {\tiny Bias} & {\tiny RMSE} \\ \hline\hline
\multicolumn{5}{c}{${\tiny n=50}$} & \multicolumn{4}{c}{${\tiny n=200}$} \\ 
\hline
\multicolumn{1}{l}{\tiny ELCM} & \multicolumn{1}{|r}{\tiny 0.039} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.109} & \multicolumn{1}{r}{\tiny 0.088} & 
\multicolumn{1}{r}{\tiny 0.356} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny 0.017} & {\tiny %
0.069} & {\tiny 0.027} & {\tiny 0.109} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny CM} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.061} & {\tiny %
0.742} & {\tiny -0.251} & {\tiny 1.051} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.025}
& {\tiny 0.551} & {\tiny 0.155} & {\tiny 0.704} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny PML} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.052} & {\tiny %
0.525} & {\tiny 0.241} & {\tiny 1.011} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.022} & 
{\tiny 0.157} & {\tiny -0.018} & {\tiny 0.227} \\ \hline\hline
\multicolumn{5}{c}{${\tiny n=100}$} & \multicolumn{4}{c}{${\tiny n=500}$} \\ 
\hline
\multicolumn{1}{l}{\tiny ELCM} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny 0.031} & {\tiny %
0.073} & {\tiny 0.016} & {\tiny 0.299} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny 0.011} & 
{\tiny 0.010} & {\tiny 0.012} & {\tiny 0.101} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny CM} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.022} & {\tiny %
0.721} & {\tiny 0.197} & {\tiny 0.881} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.011} & 
{\tiny 0.301} & {\tiny -0.063} & {\tiny 0.423} \\ 
\multicolumn{1}{l}{\tiny PML} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny 0.014} & {\tiny %
0.300} & {\tiny 0.319} & {\tiny 0.731} & \multicolumn{1}{|c}{\tiny -0.019} & 
{\tiny 0.244} & {\tiny 0.028} & {\tiny 0.200} \\ \hline\hline
\end{tabular}%
\caption{Biais et RMSE des estimateurs ELCM, CM et PML de la copule de
Gumbel transformée à deux paramètres.}%
%TCIMACRO{\TeXButton{E}{\end{table}}}%
%BeginExpansion
\end{table}%
%EndExpansion

%TCIMACRO{\TeXButton{Transition: Box Out}{\transboxout}}%
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%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{EndFrame}{\end{frame}}}%
%BeginExpansion
\end{frame}%
%EndExpansion

\section{Conclusion}

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginFrame}{\begin{frame}}}%
%BeginExpansion
\begin{frame}%
%EndExpansion

A partir du tableau \ref{T2}, en considérant trois cas de dépendance :
faible ($\tau =0.1$), modéré ($\tau =0.5$) et fort ($\tau =0.8$), la
performance de l'estimateur ELCM reste assez bonne en petit taille de l'é%
chantillon. Nous montrons que l'estimateur ELCM est plus performant que
l'estimateur CM en grand taille.\medskip

De plus, d'un point de vue chronophage, nous observons que pour une taille d'%
échantillon $n=50$ avec $N=1000$ réplications, le temps de l'unité centrale
(CPU) pour appliquer la méthode ELCM a pris $1.462$ heures, ce qui prend
approximativement le même temps avec le La méthode PML et est relativement
importante par rapport à la méthode CM, qui est mesurée en secondes $22,013.$%
\medskip

%TCIMACRO{\TeXButton{Transition: Box Out}{\transboxout}}%
%BeginExpansion
\transboxout%
%EndExpansion
%TCIMACRO{\TeXButton{EndFrame}{\end{frame}}}%
%BeginExpansion
\end{frame}%
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\part{Communications, Travaux en cours et Perspective}

\section{Communication et organisation}

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\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] {\small 
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{International
Worksohp on Multivariate Risks and Copuas, April 12-15, 2010, Mohamed Khider
University, Biskra, Algeria:}} {\small %
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{Membre de Comité d'Organisation.}}

\item[\textbf{2.}] {\small 
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{Journée
Doctoriale de Statistique 3 mars 2018:} 
\textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{Estimating the distortion parameter of the
proportional hazards premium for heavy-tailed losses under Lévy-stable
regime.}}
\end{enumerate}

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\section{Perspective}

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\QTR{frametitle}{\small Perspective}

\begin{center}
\textbf{Copules et measures de risque pour les données à queus lourdes}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Création des mesures de risque plus sensible au dependence des
risques....

\item L'étude de l'impacte de sensibilité des effet de dépendance sur le
porte feuille....

\item La modélisation de la structure de dépendance entre les données extrê%
mes à l'aide de la fonction copules....

\item Projet PRFU.......
\end{enumerate}

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\begin{center}
\textcolor[rgb]{0.00,0.00,1.00}{{\Huge Merci pour l'attention}}
\end{center}

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\end{document}
