3. Plan d'expérience du second ordre : le plan composite
Principe
Au vu de la littérature et des résultats obtenus dans le BEI 2015-2016 sur la coagulation, l'évolution de certains paramètres est du second ordre. Notre choix de plan d'expérience s'est donc porté sur un plan composite ayant les qualités suivantes (Goupy, 2012):
- Estimer efficacement les termes des premier et deuxième ordre.
- Modéliser une variable de réponse avec courbure en ajoutant des points centraux et axiaux à un plan factoriel précédemment exécuté.
Le schéma ci-dessous décrit les différentes expériences à réaliser pour obtenir une modélisation à partir d'un plan composite centré.
Aux points bleus issus d'un plan factoriel (1er ordre), il faut ajouter les points rouges appelés axiaux et le point jaune point central dans le but d'obtenir un plan composite centré (2nd ordre). L'expérience centrale (point jaune) doit être réalisée au minimum trois fois afin d'estimer la précision de notre futur modéle. Matriciellement, ces séries d'expérience se traduisent de la façon suivante (voir tableau ci-dessous) à l'aide de variable codées représentant, dans notre cas, le pH et la dose de coagulant injecté. La valeur (1) correspond à la valeur maximale de la gamme de la variable, la valeur (-1) correspond à celle minimale et (0) représente la moyenne. Pour déterminer la position des points axiaux il a fallu calculé la valeur de alpha qui est donné par la formule suivante:
Ici, nf correspond au nombre d'expériences issues du plan factoriel (nf=4) et n représente le nombre total d'expérience (n=11). On a alors obtenu alpha=1,1474427.
| 0 | 1 | 2 | 12 | 11 | 22 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | -1,1474427 | 0 | 0 | 1,31662479 | 0 |
| 1 | 1,1474427 | 0 | 0 | 1,31662479 | 0 |
| 1 | 0 | -1,1474427 | 0 | 0 | 1,31662479 |
| 1 | 0 | 1,1474427 | 0 | 0 | 1,31662479 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Tableau Matrice de calcul des 11 expériences du plan composite
Mise en place
Pour réaliser ce plan d'expérience, il a fallu dans un premier temps déterminé la gamme opératoire de chaque paramètre grâce la littérature, c'est à dire une valeur haute (+1), une valeur basse (-1) et une valeur médiane (0) comme représentées dans le tableau ci-dessous.
| pH | dose coagulant (mg/L) | |
| min (-α) | 6 | 15 |
| max (+α) | 9 | 50 |
| (-1) | 6,19 | 17,25 |
| (+1) | 8,81 | 47,75 |
| centre (0) | 7,5 | 32,5 |
| pas | 1,31 | 15,25 |
Tableau : Gamme opératoire utilisée pour chaque paramètre
La modélisation est établie à partir de variables réduite. Il est donc nécéssaire de détailler les équations de passage utilisée entre variable réelles et variables réduites. Pour trouver la valeur de la variable réelle, il suffit de multiplier la variable codée par la pas et additionner la valeur du centre.
| Y | X | Equation |
| pH | pH réduit | Y=1,31X+7,5 |
| Dose de coagulant (mg/L) | Dose réduite | Y=15,25X+32,5 |
Tableau : Equations de passage entres variables réelles et variables réduites
A l'aide de la matrice d'expérience décrite précédemment et des équations de passage entre variables réduites nous pouvons détailler la matrice contenant les différentes expériences à réaliser:
| n° expérience | pH | Dose (mg/l) |
| 1 | 6,2 | 17,2 |
| 2 | 8,8 | 17,2 |
| 3 | 6,2 | 47,8 |
| 4 | 8,8 | 47,8 |
| 5 | 6,0 | 32,5 |
| 6 | 9,0 | 32,5 |
| 7 | 7,5 | 15,0 |
| 8 | 7,5 | 50,0 |
| 9 | 7,5 | 32,5 |
| 10 | 7,5 | 32,5 |
| 11 | 7,5 | 32,5 |
Tableau : Expériences effectuées pour le plan composite
Pour réaliser cette démarche expérimentale, nous allons donc réaliser 11 essais dont 3 qui servent à estimer la précision du modèle.
Résultats
Une fois les expériences terminées, nous avons mesuré les différentes grandeurs caractéristiques importantes détaillées précédemment. Les résultats, pour chaque expérience, sont donnés dans le tableau suivant:
| Variables codées | Variables réelles | Résultats | ||||
| N° exp. | pH | Dose | pH | Dose (mg/L) | Abattement Turbidité | Réduction MES |
| 1 | -1,0 | -1,0 | 6,2 | 17,2 | 81% | 60% |
| 2 | 1,0 | -1,0 | 8,8 | 17,2 | 75% | 57% |
| 3 | -1,0 | 1,0 | 6,2 | 47,8 | 92% | 80% |
| 4 | 1,0 | 1,0 | 8,8 | 47,8 | 84% | 70% |
| 5 | -1,147 | 0,000 | 6,0 | 32,5 | 85% | 77% |
| 6 | 1,147 | 0,000 | 9,0 | 32,5 | 98% | 70% |
| 7 | 0,000 | -1,147 | 7,5 | 15,0 | 85% | 67% |
| 8 | 0,000 | 1,147 | 7,5 | 50,0 | 98% | 97% |
| 9 | 0,0 | 0,0 | 7,5 | 32,5 | 92% | 87% |
| 10 | 0,0 | 0,0 | 7,5 | 32,5 | 96% | 93% |
| 11 | 0,0 | 0,0 | 7,5 | 32,5 | 93% | 90% |
Ces résultats nous ont alors permis d'établir des modèles pour la réduction de la turbidité et la réduction des MES.
Modélisation de la turbidité
Le plan d'expérience nous a permis de modéliser l'abattement de la turbidité, et les résultats de cette modélisation sont détaillés dans le tableau ci-dessous donnant les coefficients devant chaque variables et leurs incertitudes.
| Réponse | Source | Coefficient â | tstudent*σ (intervalle de confiance) | Remarque |
| Abattement de la turbidité | X1 | 0,001 | ±0,002 | non significatif |
| X2 | 0,053 | ±0,002 | significatif | |
| X1X2 | -0,005 | ±0,003 | significatif | |
| X1X1 | -0,050 | ±0,003 | significatif | |
| X2X2 | -0,050 | ±0,003 | significatif |
Notes: X1: première variable réduite , pH; X2: seconde variable réduite, dose (mg/L)
L'equation de la turbidité est donc la suivante:
Yturbidité = 0,951+0,001*XpH+0,053*Xdose-0,005*XpH*Xdose-0,050*Xdose2-0,050*XpH2
On a alors pu traçer l'évolution du pH pour une dose de coagulant injecté fixé à 30mg/L (Figure a).
On observe clairement une valeur optimale pour le pH qui est de 7.5 et qui permet d'abattre la turbidité d'environ 94%. En annulant l'effet du pH dans cette équation, on peut aussi traçer l'évolution de l'abattement de la turbidité en fonction de la dose de coagulant (chlorure ferrique) injecté (figure b).
On observe une dose optimale d'environ 40mg/L. De 15 mg/L à la dose optimale on observe une augmentation de l'abattement de la turbidité ce qui est en accord avec l'interprétation physique: plus on ajoute de coagulant, meilleure sera l'abattement de la turbidité. Cependant pour des valeurs supérieures à la dose optimales, on observe un déclin de l'abattement de la turbidité, cela peut s'expliquer par le fait que le chlorure ferrique devient en excès et que la couleur du fer augmente la valeur finale de la turbidité. La littérature décrit aussi un l’effet « tampon » à doses imortantes de coagulant ce qui peut engendrer une baisse de l’efficacité du processus. (Barrès, 2006).
Dans un diagramme 3D (figure c), on observe visuellement qu'il existe un point optimal permettant d'assurer un abattement de la turbidité maximal d'environ 96%. Ce point correspond à une valeur du pH de 7,5 et de la dose injectée de 40,5 mg/L ce qui est en accord avec différentes valeurs issues de la littérature (Jung, 2010 et BEI 2015-2016).
Modélisation des Matières en Suspension (MES)
Le plan d'expérience nous a aussi permis de modéliser la réduction des MES, et les résultats de cette modélisation sont détaillés dans le tableau ci-dessous donnant les coefficients devant chaque variables et leurs incertitudes.
| Réponse | Source | Coefficient â | tstudent*σ | Remarque |
| Réduction des MES | X1 | -0,032 | ±0,001 | significatif |
| X2 | 0,102 | ±0,001 | significatif | |
| X1X2 | -0,017 | ±0,001 | significatif | |
| X1X1 | -0,146 | ±0,001 | significatif | |
| X2X2 | -0,083 | ±0,001 | significatif |
Notes: X1: première variable réduite, pH; X2: seconde variable réduite, dose (mg/L)
L'équation donnant la quantité de matière en suspension (MES) est alors la suivante:
YMES = 0,908-0,032*XpH+0,102*Xdose-0,017*XpH*Xdose-0,146*XpH2-0,083*Xdose2
On a alors pu traçer l'évolution de la réduction des MES en fonction du pH avec une dose fixée à 30 mg/L (Figure d).
On observe que le pH optimal n'est pas exactement le même que celui déterminé précédement à propos de l'abattement de la turbidité. En effet, dans le cas de la réduction des MES, on obtient une valeur maximale d'environ 91% pour un pH situé entre 7 et 7,5. On a de même traçé, l'évolution de la réduction des MES en fonction de la dose de coagulant injected (Figure e).
En annulant l'effet du pH, on obtient une dose injectée d'environ 42 mg/L, cette valeur est supérieur de 2mg/L à celle déterminée lors de l'étude de la turbidité. On observe la même allure avec un effet tampon pour des concentrations supérieures à la dose optimale. Pour cette valeur optimale, l'efficacité atteint quasiment 95%.
Dans un diagramme 3D (figure c), on observe visuellement qu'il existe un point optimal permettant d'assurer une réduction des MES maximale d'environ 94%. Ce point correspond à une valeur du pH de 7,35 et de la dose injectée de 42.2 mg/L ce qui est en accord avec différentes valeurs issues de la littérature (Dawood, 2012 et BEI 2015-2016).
Corrélation entre la turbidité et les Matières en Suspension (MES)
Il y a une relation entre la turbidité et les MES, c'est ce que nous avons essayé de démontrer même si cette corrélation linéaire est difficile à montrer (Bertrand Krajewski et al., 2010, Ruban, 1995). En effet, elle dépend de différents paramètres, comme les facteurs géométriques et optiques des particules en suspension qui sont de nature très variables dans les eaux fluviales. Ces paramètres sont liés à la nature des colloïdes et peuvent varier en fonction du jour ou de l'heure à cause d'épisodes pluvieux par exemple (Hannouche, 2012). On a alors traçé la corrélation linaire entre les MES et la turbidité et on obtient un coefficient de corrélation R2 de 0.64 (Figure g). Cette valeur est comparable à celle trouvée dans le BEI 2015-2016. L'imprécision des manipulations expérimentales est peut-être en cause, en effet les valeurs lues sur le turbidimètre étaient très instables.
Nous n'avons pas pu modéliser la concentration en fer résiduel à cause des contraintes de temps, les résultats d'analyses d'un laboratoire externe ne sont pas arrivés à temps. Cependant, nous avons évalué la surconcentration à ne pas dépasser dans l'étude 1. Pour le plan d'expérience, les doses injectée de coagulant étant en dessous de 50mg/L (surconcentration maximale), nous nous attendions de toute façon à ce que le fer résiduel ne soit pas détectable par le laboratoire externe (concentrations inférieures au seuil de détection de 30microgrammes/L).
| Modèle | pH optimal | Dose optimale (mg/L) | Valeur prédite |
| Réduction de la turbidité | 7.50 | 40.5 | 96.43% |
| Réduction des MES | 7.35 | 42.2 | 94.24% |
Tableau : Récapitulatif des paramètres optimums pour les différentes grandeurs modélisées
EDIT 14/03/2017: (Réception des résultats d'analyse de fer après la fin du BEI)
L'équation donnant la concentration en fer résiduel est la suivante:
Yfer_résiduel = 623,1-227,3*XpH+176,78*Xdose-262,5*XpH*Xdose+235.5*XpH2-129*Xdose2
Par la forme du profil, on peut dire que le modèle n'est pas adapté pour déterminer un couple de paramètres optimums pH et dose injectée concernant le fer résiduel. Par contre, le pH moyen de la Garonne étant de 7.90, peut facilement déterminer la dose optimale de coagulant à injectée pour ce pH fixé (Voir Graphe suivant). Pour ce pH, la dose optimale injectée est 43mg/L.
